RAIZ DE UNA POTENCIA

La raíz de cualquier  potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia entre el indice de la raíz.

\[\large\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\]

Ejemplo 1

\[\large\sqrt[3]{5^{6}}\]
lo primero que debemos hacer es dividir el exponente de la potencia entre el indice de la raíz

\[\Large5^{\frac{6}{3}}\]
Resolvemos la fracción dividiendo 6 entre 3
\[\Large5^{2}\]
Ahora para terminan , resolvemos la potencia
\[\Large5^{2}=5\times5=\color{red}{25}\]


Ejemplo 2

\[\large\sqrt[5]{3^{15}}\]
Dividimos el exponente de la potencia entre el indice de la raíz
\[\Large3^{\frac{15}{5}}\]
resolvemos la fracción dividiendo 15 entre 5
\[\Large3^{3}\]
Ahora resolvemos la potencia
\[\Large3^{3}= 3 \times 3 \times 3 = \color{red}{27}\] 


Ejemplo 3

\[\sqrt{2^{4}\times 3^{6}}\]
Lo primero es aplicar propiedad distributiva para cada uno de los factores.
\[\sqrt{2^{4}} \times \sqrt{3^{6}}\]
Ahora , a cada una de las raíces el indice de la potencia lo dividimos en el indice de la raíz
\[\Large2^{\frac{4}{2}} \times 3^{\frac{6}{2}}\]
Ahora resolvemos las fracciones dividiendo
\[\Large2^{2} \times 3^{3}\]
Resolvemos las potencias 
\[2^{2}=2 \times 2 = \bf{\color{purple}{4}}\]
\[3^{3}=3 \times 3 \times 3 = \bf{\color{red}{27}}\]
Ahora multiplicamos el los resultados de las potencias
\[\bf{\color{purple}{4}} \times \bf{\color{red}{27}} \]
el resultado es 
\[\bf{\color{blue}{108}}\]

Ejercicios:

\[\sqrt{3^{12}}\]

\[\sqrt[6]{2^{30}}\]

\[\sqrt[3]{4^{9}}\]

\[\sqrt[5]{2^{10} \times 3^{15}}\]

\[\sqrt[]{2^{10} \times 3^{2} \times 5^{4}}\]

\[\sqrt[3]{2^{6} \times 4^{3} \times 5^{6}}\]