1. Una familia desea realizar un viaje por tres ciudades de Colombia para lo cual han realizado una cotización en una agencia de turismo. La agencia les presenta el siguiente cuadro con la información del valor por noche y por persona en cada ciudad.
a. Teniendo en cuenta la información dada por la agencia, la familia desea calcular el costo del hospedaje por persona si se quedan 3 días en Cartagena, 5 en Santa Marta y 4 en Barranquilla. Represente la situación anterior como una operación entre matrices para determinar el costo del viaje para cada una de las opciones de hospedaje.
R/ Lo primero es sacar la matriz del cuadro cuadro anterior; a esta matriz la llamaremos matriz A.
\[A=\begin{bmatrix} 80000 & 70000 & 50000\\ 76000 & 63000 & 45000\\ 72000 & 56000 & 38000 \end{bmatrix}\]
Ahora lo que hacemos es sacar una matriz B con los los días de hospedaje en las tres ciudades; me sale una matriz 3x1 .
\[B=\begin{bmatrix} 3\\ 5\\ 4 \end{bmatrix}\]
Ahora procedemos a realizar una multiplicación matriz A x B = AB ; teniendo en cuenta que la matriz A es de dimensión 3x3 y la Matriz B es de dimensión 3x1, y el numero de columnas de la matriz A es igual al numero de filas de la matriz B es posible realizar dicha operación.
Entonces el resultado seria una matriz de dimension 3x1 llamada AB.
\[AB=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ a_{31} \end{bmatrix}\]
Procedemos a realizar la operaciones
\[a_{11}=(80000*3)+(70000*5)+(50000*4)=240000+350000+200000=790000\]
\[a_{21}=(76000*3)+(63000*5)+(45000*4)=228000+315000+180000=723000\]
\[a_{31}=(72000*3)+(56000*5)+(38000*4)=216000+280000+152000=648000\]
\[AB=\begin{bmatrix} 790000\\ 723000\\ 648000 \end{bmatrix}\]
Entonces el costo del viaje para cada una de las opciones de hospedaje es:
b. La familia ha decidido que 10 personas realizarán el viaje con un presupuesto de $ 4.736.000. Con esta información la agencia programó un plan de viaje y les presentó los siguientes costos totales por persona.
¿Cuántas noches programó la agencia en cada ciudad?
R/ Para resolver este punto se debe tener en cuenta el cuadro informativo al problema donde la agencia presenta el cuadro con la información del valor por noche y por persona en cada ciudad y el cuadro donde la agencia programa el plan de viaje a 10 personas que realizaran el viaje.
El problema me pide hallar la noches que programo la agencia en cada ciudad, para ello me sale el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{matrix} 80000x & 70000y & 50000z & = & 540000\\ 76000x & 63000y & 45000z & = & 494000\\ 72000x & 56000y & 38000z & = & 444000 \end{matrix}\right.\]
Donde X seria el numero de noches en Cartagena, Y el numero de noches en Santa Marta y Z el numero de noches en Barranquilla.
Ahora procedemos a realizar la matriz quedando de la siguiente forma:
\[\left [ \left.\begin{matrix} 80000 & 70000 & 50000 \\ 76000 & 63000 & 45000 \\ 72000 & 56000 & 38000 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540000 \\ 494000 \\ 444000 \end{matrix} \right ]\]
Ahora se procede a resolver por Gauss Jordan pero primero simplificaremos de la siguiente manera
\[ F1 \div 1000 = F1 \] \[ F2 \div 1000 = F2 \] \[ F3 \div 1000 = F3 \]
La matriz me queda de la siguiente manera:
\[\left [ \left.\begin{matrix} 80 & 70 & 50 \\ 76 & 63 & 45 \\ 72 & 56 & 38 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540 \\ 494 \\ 444 \end{matrix} \right ]\]
Ahora empezamos a utilizar el método de Gauss Jordan para resolver el sistema.
Primero: Convertimos la posición 21(2 fila, 1 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación \[((-76)*F1)+(80*F2)=> F2\]
\[\begin{matrix} -6080 & -5320 & -3800 & -41040\\ +6080 & +5040 & +3600 & +39520\\ --- & --- & --- & ---\\ 0 & -280 & -200 & -1520 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 0 & 7 & 5 & 38 \end{matrix} => F2\]
La Matriz me queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 80 & 70 & 50 \\ 0 & 7 & 5 \\ 72 & 56 & 38 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540 \\ 38 \\ 444 \end{matrix} \right ]\]
Segundo: Convertimos la posición 31(3 fila, 1 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación \[((-72)*F1)+(80*F3)=> F3\]
\[\begin{matrix} -5760 & -5040 & -3600 & -38880\\ +5760 & +4480 & +3040 & +35520\\ --- & --- & --- & ---\\ 0 & -560 & -560 & -3360 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 6 \end{matrix} => F3\]
La matriz queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 80 & 70 & 50 \\ 0 & 7 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540 \\ 38 \\ 6 \end{matrix} \right ]\]
Tercero: Convertimos la posición 32(3 fila, 2 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación \[((-1)*F2)+(7*F3)=> F3\]
\[\begin{matrix} 0 & -7 & -5 & -38\\ 0 & +7 & +7 & +42\\ --- & --- & --- & ---\\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} => F3\]
La matriz queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 80 & 70 & 50 \\ 0 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540 \\ 38 \\ 2 \end{matrix} \right ]\]
Cuarto: Convertimos la posición 23(2 fila, 3 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación: \[F2+((-5)*F3)=>F2\]
\[\begin{matrix} 0 & 7 & 5 & 38\\ 0 & 0 & -5 & -10\\ --- & --- & --- & ---\\ 0 & 7 & 0 & 28 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 4 \end{matrix} => F2\]
La matriz queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 80 & 70 & 50 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 540 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right ]\]
Quinto: Convertimos la posición 13(1 fila, 3 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación: \[F1+((-50)*F3)=>F1\]
\[\begin{matrix} 80 & 70 & 50 & 540\\ 0 & 0 & -50 & -100\\ --- & --- & --- & ---\\ 80 & 70 & 0 & 440 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 8 & 7 & 0 & 44 \end{matrix} => F1\]
La matriz queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 8 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 44 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right ]\]
Sexto: Convertimos la posición 12(1 fila, 2 columna) en 0
Utilizamos la siguiente operación: \[F1+((-7)*F2)=>F1\]
\[\begin{matrix} 8 & 7 & 0 & 44\\ 0 & -7 & 0 & -28\\ --- & --- & --- & ---\\ 8 & 0 & 0 & 16 \\ \end{matrix}\]
\[\begin{matrix} 8 & 7 & 0 & 44\\ 0 & -7 & 0 & -28\\ --- & --- & --- & ---\\ 8 & 0 & 0 & 16 \\ \end{matrix}\]
Ahora simplificamos: \[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} => F1\]
La matriz queda de la siguiente forma: \[\left [ \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right ]\]
Ya tenemos resuelta el sistema por lo tanto el resultado es el siguiente:
\[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} => F1\]
\[x=2= 2 \ noches \ en \ Cartagena\]
\[y=4= 4 \ noches \ en \ Santa \ Marta\]
\[z=2= 2 \ noches \ en \ Barranquilla\]
\[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} => F1\]
\[x=2= 2 \ noches \ en \ Cartagena\]
\[y=4= 4 \ noches \ en \ Santa \ Marta\]
\[z=2= 2 \ noches \ en \ Barranquilla\]
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